La situation en logique classique

8En logique classique – nous nous restreindrons au calcul propositionnel pour la simplicité de l’exposé –, une proposition p est associée à un ensemble d’interprétations, noté [p], qui rendent la proposition vraie ; ce sont les modèles de p. Une interprétation correspond à un état du monde, ou une situation donnée, dans laquelle on peut attribuer à chaque proposition son degré de vérité. On s’intéresse ici à représenter des états de connaissance d’un agent relativement à l’état réel du monde. Un état de connaissance est décrit par une base de connaissances K constituée d’un ensemble de propositions {p₁, …, p_n} considérées comme vraies par l’agent. On associe à K l’ensemble de ses modèles, c’est-à-dire les interprétations communes à tous les [p_i], soit [K] = [p₁] ?… ? [p_n] ; la machinerie inférentielle de la logique classique permet alors de conclure q si et seulement si on a, au plan sémantique, [K] ? [q], c’est-à-dire que q est vrai pour toute interprétation compatible avec la base de connaissances K. En particulier, si K est incohérent, c’est-à-dire [K] = Ø, n’importe quelle proposition peut être déduite. Par ailleurs, on peut bien entendu toujours déduire de la base K les propositions qui la constituent ; en effet, ? i, [K] ? [p_i].

9La formalisation qui vient d’être décrite correspond à un état de connaissances où toutes les propositions contenues dans K sont également certaines et où toutes les interprétations qui appartiennent à [K] sont également plausibles. Relativement à l’état de connaissance K, notons qu’une proposition q, non explicitement dans K, peut être vraie ([K] ? [q]), ou fausse ([K] ? , où la barre de surlignage indique la complémentation), ou encore être dans un état de vérité inconnu si [K] ? [q] ? Ø et [K] ? ? Ø. Ce dernier état ne correspond pas cependant à une troisième valeur de vérité ; en effet il n’est pas « vérifonctionnel » [10] puisque par exemple il est possible que la valeur de vérité de q (et donc de ¬q puisque [¬q] = soit inconnue, alors que q ? ¬q est bien sûr toujours une tautologie, et est donc toujours vraie (en effet ? K, [K] ? [q ? ¬q] = [q] ? ). Alors que la valeur de vérité (vrai ou faux) d’une formule logique propositionnelle se calcule à partir des valeurs de vérité des formules élémentaires qui la composent, on ne peut pas conclure si la valeur de vérité de q ? r, par exemple, est inconnue ou non, simplement à partir du fait que les valeurs de vérité de q et de r sont inconnues. Quand la valeur de vérité de q est inconnue, on est dans un état d’incertitude (non quantifié) quant à q, compte tenu de l’information disponible représentée par [K].

Ordonner les interprétations selon leur plausibilité

10Quand la situation de vérité inconnue peut se produire, l’état de connaissance décrit par K est dit « incomplet » ; un état de connaissance complet correspond au cas où K n’a qu’un seul modèle et où donc toute proposition q peut être établie soit comme vraie, soit comme fausse à partir de K. Il est possible d’affiner la description des états de connaissance incomplets en introduisant une relation d’ordre entre les états possibles du monde. Comme on va le voir, cet ordre entre les interprétations induit un ordre sur les propositions dans K. Réciproquement, à partir d’un ordre sur les propositions, il sera possible de définir un ordre associé sur les interprétations.

11Soit ? l’ensemble, supposé fini pour la simplicité de l’exposé, des interprétations possibles considérées. Supposons tout d’abord les interprétations ? classées par l’agent selon leur niveau de plausibilité ?(?) (plusieurs interprétations peuvent avoir le même niveau de plausibilité). Ceci peut être codé en utilisant l’échelle [0, 1] (ou une échelle totalement ordonnée éventuellement finie) avec les conventions suivantes ?(?) = 0 signifie que ? est impossible, qu’en aucun cas ce n’est un état possible du monde, tandis que ?(?) = 1 correspond aux états les plus plausibles. On suppose par convention qu’il existe au moins un ? tel que ?(?) = 1, c’est-à-dire qu’au moins un état du monde est complètement possible. Si toutes les interprétations sont complètement possibles (? ?, ?(?) = 1), alors l’agent est dans une situation d’ignorance totale. Au contraire, si une seule interprétation est possible, l’agent est dans un état de connaissance complète. À partir de ?, on définit une fonction de possibilité ?, telle que

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13Ainsi la proposition q est d’autant moins surprenante pour l’agent, que ?(q) est grand, c’est-à-dire qu’il existe au moins une interprétation plausible qui la rende vraie. ?(q) estime à quel point il existe un modèle de q qui est plausible, c’est-à-dire à quel point q est cohérent avec l’état plus ou moins plausible du monde. Une fonction duale N, dite de nécessité, est associée à II :

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15La relation N(q) = 1 – ?(¬q) peut être vue comme une contrepartie valuée de la dualité entre le possible et le nécessaire en logique modale. N(q) estime à quel point toutes les interprétations qui rendent q faux sont peu plausibles. N(q) exprime donc à quel point q est certain étant donné l’ordre sur la plausibilité des interprétations, exprimé par ?. N(q) > 0 équivaut à ?(¬q) < 1, ce qui signifie que ¬q n’est pas complètement possible, ou encore que q est vraie dans toutes les situations les plus plausibles, c’est-à-dire que l’agent s’attend à ce que normalement q soit vraie. N(q) > 0 correspond donc à l’idée d’acceptation de q par l’agent. Celui-ci refusera d’autant plus de remettre en cause q que N(q) est grand. Il est facile de vérifier que ? et N sont compositionnels pour la disjonction et la conjonction respectivement, c’est-à-dire

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17Ce qui exprime que la proposition q ? r est d’autant moins surprenante que q est possible ou r est possible et que, par ailleurs, la proposition q ? r est acceptée dès que q et que r le sont. Par contre ? (q ? r) (resp. N(q ? r)) n’est pas une fonction de ?(q) et de ?(r) (resp. N(q) et N(r)). En effet on doit aussi avoir N(q ? ¬q) = 1 alors que N(q) et N(¬q) ne sont contraintes que par la relation min(N(q), N(¬q)) = 0. Cela signifie que l’agent ne peut à la fois accepter q et ¬q, mais il peut n’accepter ni l’un ni l’autre. La tautologie q ? ¬q est certainement vraie même si on ne sait rien de la vérité ou de la fausseté de q, et par suite, N(q) et ?(q) ne peuvent donc pas être assimilés à des degrés de vérité vérifonctionnels. Dans le cas particulier, où ? n’est autre que la fonction caractéristique d’un ensemble tel que [K], on retrouve la situation déjà décrite.

Bases de connaissances stratifiées

18On vient de voir comment à partir d’un ordre de plausibilité sur les interprétations on pouvait associer un degré de certitude ou d’acceptation N(q) à une proposition q. Observons que, comme on a ?(q ? ¬q) = 1 = max(?(q), ?(¬q)), on doit avoir ?(q) = 1 dès que N(q) > 0 (et donc N(q) = 0 dès que ?(q) < 1), c’est-à-dire qu’une proposition doit être d’abord totalement possible avant d’être tant soit peu acceptée. Considérons maintenant une base de connaissances K organisée en couches K_i, i = 1, n telles que K= K₁ ?…? K_i ?…? K_n, où toutes les propositions contenues dans K_i sont supposées avoir le même niveau de certitude ?_i avec la convention que ?₁ = 1 >… > ?_i >… > ?_n > 0. Une telle stratification de la base de connaissances permet de distinguer entre les informations complètement certaines (qui sont dans K₁) et d’autres dont l’acceptation est de moins en moins affirmée (ou, si l’on préfère, de moins en moins enracinée). Chaque proposition est ainsi associée à un niveau d’acceptation ?_i La logique qui permet d’inférer à partir de formules pondérées de la sorte est appelée « logique possibiliste » [11]. La stratification qui ordonne les propositions selon leur « enracinement épistémique », pour citer Gärdenfors [12], induit un ordre sur les interprétations comme on va le voir. En effet, interprétons sémantiquement l’appartenance de p à K_i comme N(p) ? ?_i, cela signifie encore que ?(¬p) ? 1 – ?_i [13] et que donc toute interprétation ? ?[¬p] est au plus plausible au degré 1 – ?_i, c’est-à-dire que

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20On peut faire ce raisonnement pour la conjonction des. propositions de K_i. On obtient donc pour toute couche i : ? ? ? , ?(?) ? 1 – ?_i, tandis que ? ? ? [k_i], ?(?) ? 1 (puisqu’il n’y a pas de contrainte) et ce pour tout i. Soit [K_i; ?_i] l’ensemble dont la fonction caractéristique vaut 1 si ? ? [K_i] et 1 – ?_i si ? ? ; puisque cette fonction caractéristique prend des valeurs autres que 1 ou 0, il s’agit à strictement parler d’un ensemble flou [14]. Cela correspond à saturer les contraintes exprimées par les inégalités ci-dessus et à allouer aux interprétations les plus grands degrés de plausibilité en accord avec les contraintes. C’est le principe dit de minimum de spécificité qui exprime qu’on ne doit pas rendre l’information plus précise ou plus certaine qu’elle n’est en abaissant arbitrairement le niveau de plausibilité des interprétations. À partir des ensembles flous [K_i ; ?_i] on construit, par intersection, l’ensemble flou [K^*] des interprétations plus ou moins plausibles au sens de K

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22où l’intersection est définie en prenant le minimum des degrés d’appartenance aux ensembles flous [K_i ; ?_i], interprétation par interprétation. Ce résultat correspond encore à l’application du principe de minimum de spécificité aux contraintes correspondant à l’ensemble des couches. Il est facile d’établir que la fonction caractéristique de [K^*] est normalisée (il existe au moins une interprétation qui appartient à [K^*] avec le degré 1), si et seulement si [K] = [K₁] ?… ? [K_i] ?… ? [K_n] ? Ø, c’est-à-dire si la base de connaissances, abstraction faite des niveaux de certitude, est cohérente. On a donc associé à une base stratifiée un ordre de plausibilité sur les interprétations. Si les formules de la base K sont logiquement indépendantes, on peut vérifier que ? p ? [K_i] N^*(p) = ?_i où N^* est la fonction de nécessité associée à ?, la fonction caractéristique de [K^*]. [K^*] représente bien la sémantique de la base stratifiée. Il a de plus été établi [15] un théorème de correction et de complétude pour la logique possibiliste par rapport à la sémantique qu’on vient de décrire. Ce théorème dit en substance que q peut Être déduit au sens classique de K avec un niveau de certitude au moins égal à ß (obtenu comme le plus petit des niveaux de certitude des propositions apparaissant dans la preuve de q) si et seulement si on a N^*(q) ? ß.

Informations vagues

23On vient de voir qu’un ordre sur la plausibilité des interprétations possibles était naturellement induit par la stratification d’une base de connaissances selon différents niveaux d’acceptation ou de certitude. Un tel ordre peut également être induit par la spécification d’informations comportant des prédicats vagues. Ainsi l’information « Jean est grand » pourra être représentée, selon la proposition de Zadeh [16], par une fonction ? qui exprimera que ? est une valeur d’autant plus plausible de la taille de Jean que ? est une grande taille. L’information vague « Jean est grand » ne peut donc être représentée en pratique que si dans le contexte dans lequel on se trouve on peut convenir de ce que « grand » veut dire : c’est-à-dire expliciter quelles sont les valeurs ? complètement incompatibles avec l’idée de grand (dans ce contexte) qui seront impossibles pour la taille de Jean et donc telles que ?(?) = 0 ; quelles sont les valeurs ? complètement compatibles, typiques de cette idée de « grand », qui seront totalement possibles pour la taille de Jean et donc telles que ?(?) = 1 ; les autres interprétations recevront alors des valeurs intermédiaires entre 0 et 1 d’autant plus proches de 1 que la taille est grande. Dans l’exemple où la taille est définie sur un référentiel continu, on pourra justifier une transition linéaire entre les valeurs impossibles et les valeurs typiques, si on ne dispose pas dans ce contexte de raisons permettant d’attribuer différemment les niveaux de plausibilité. Il convient en effet d’insister sur l’absence de modèle universel et absolu de l’idée de « grand » ; le sens précis de tels prédicats dépend du contexte et de celui qui les utilise.

24On peut montrer que la fonction ? peut toujours être formellement représentée par une famille de sous-ensembles emboîtés les uns dans les autres auxquels sont attachés des degrés reflétant à quel point il est certain que, dans notre exemple, la valeur de la taille de Jean appartienne à ce sous-ensemble. La certitude est d’autant plus grande que les valeurs des interprétations en dehors de ce sous-ensemble sont toutes peu plausibles. Ainsi l’information « Jean est grand » permet de dire qu’on est totalement certain que la valeur de la taille de Jean appartient à l’ensemble des interprétations ? telles que ?(?) est non nul, et de manière plus générale que l’ensemble {?, ?(?) ? ?} contient la valeur de la taille de Jean avec une certitude égale à 1 – ?, et ce pour tout ?. De cette manière, on voit qu’une information vague équivaut à une famille d’informations incertaines, emboîtées puisque {?, ?(?) ? ?} ? {?, ?(?) ? ß} dès que ß ? ?, les informations les plus certaines correspondant aux ensembles les plus grands. Cette famille pourra être éventuellement finie en particulier si l’ensemble des interprétations considérées est fini (ce sera le cas dans notre exemple, si on ne distingue qu’entre les différentes valeurs possibles de taille humaine exprimables en centimètres par exemple).

Vérité incertaine

25Á partir d’une fonction ordonnant les interprétations possibles du monde considéré selon leur niveau de plausibilité, que cette fonction soit induite par une stratification d’une base de connaissances classique comme on l’a vu dans la section traitant des bases de connaissances stratifiées ou par la représentation d’informations exprimées à l’aide de prédicats vagues comme on vient de le voir, on est en mesure d’évaluer à quel point il est possible et à quel point il est certain qu’un énoncé q (correspondant à une proposition classique) soit vrai (ou soit faux). Si ?(q) = N(q) = 1, la proposition q est vraie, cela correspond au cas où [q] ? {?, ?(?) > 0} ; si ?(q) = N(q) = 0, elle est fausse (cela correspond au cas où [q] ? {?, ?(?) = 0}. Dans tous les autres cas, la vérité (ou la fausseté) de q est incertaine, mais elle n’est pas totalement inconnue, au sens où l’ordre sur les interprétations permet d’évaluer s’il est quelque peu certain que q soit vrai (N(q) ? ? > 0, ? (q) = 1 ? ? ? > 0, [q] ? {?, ?(?) > 1 – ? }) ou que q soit faux (N(q) = 0, ?(q) ? ß) < 1 ? ? ß < 1, [q] ? {?, ?(?) ? ß}).

26Comme il a déjà été dit, ?(q) et N(q) ne sont pas des degrés de vérité, car ils ne sont pas vérifonctionnels par rapport à tous les connecteurs logiques. En cela la situation est la même qu’avec une approche probabiliste de l’incertain. Dans ce dernier cas, on dispose d’une fonction de probabilité p sur les interprétations, à partir de laquelle on peut calculer la probabilité d’un énoncé q, comme Prob(q) = ?{p(?) | ? ?[q]} (la somme devant être remplacée par une intégrale si le nombre d’interprétations n’est pas fini). En effet, il est bien connu que la probabilité n’est vérifonctionnelle que pour la négation (Prob(¬q) = 1 – Prob(q)). On peut d’ailleurs montrer de manière générale qu’on ne peut pas avoir un calcul de l’incertain complètement vérifonctionnel pour des propositions booléennes (qui ne peuvent être que vraies ou fausses), si on utilise une échelle de niveaux d’incertitude, totalement ordonnée, à plus de deux niveaux. Notons enfin que le cadre probabiliste de l’incertain requiert d’une part, à la différence des possibilités, une échelle d’incertitude plus qu’ordinale (puisqu’on doit effectuer des sommes et des produits sur les degrés), et ne permet pas d’autre part de distinguer entre l’absence totale de certitude que q soit vrai et la certitude que q soit faux puisque Prob(q) = 0 équivaut à Prob(¬q) = 1, alors que N(q) = 0 n’implique rien sur la valeur de N(¬q) (on a seulement N(¬q) = 1 ? N (p) = 0.

Représentation possibiliste des règles

27On peut être amené à inférer des conclusions incertaines sans pour autant être en mesure d’évaluer l’incertitude de ces conclusions. C’est le cas du raisonnement par défaut à partir de règles pouvant présenter des exceptions, mais qui sont applicables à des situations incomplètement connues. Les recherches en intelligence artificielle depuis plus de vingt ans sur les logiques dites « non monotones » ont mis en avant le problème posé par l’usage dans une même base de connaissances de règles telles que « les oiseaux volent », « les pingouins sont des oiseaux » et « les pingouins ne volent pas » [17], qui conduisent à une incohérence dès qu’elles sont appliquées ensemble à un pingouin. Pourtant une règle telle que « les oiseaux volent », même si elle est sujette à de nombreuses exceptions (pingouins, autruches, …), est néanmoins utile quand on ne dispose que de l’information – incomplète – qu’on a affaire à un oiseau, pour conclure, au moins provisoirement, qu’il vole, quitte à revenir ultérieurement sur cette conclusion si on apprend qu’il s’agit d’un pingouin (d’où l’aspect « non monotone » de l’inférence à formaliser) [18].

28L’incertitude attachée à une règle du type « généralement si p, alors q » ne peut pas toujours être quantifiée. Il peut cependant être naturel de l’interpréter en exprimant qu’il est strictement plus plausible de se trouver dans une situation où p ? q est vrai plutôt que dans une situation où p ? ¬q est vrai. En termes de fonction de possibilité, ceci peut s’écrire sous la forme de la contrainte

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30On peut voir que cette contrainte sur la fonction de possibilité représentant l’information disponible est équivalente à dire que tous les modèles les plus plausibles de p sont parmi les modèles de q (puisque ?(p) = max(?(p ? q), ?(p ? ¬q)) et que donc la contrainte entraîne ?(p) = ?(p ? q)). Cela correspond à la sémantique de l’inférence préférentielle d’abord proposée par Shoham [19] pour les logiques non monotones où on peut inférer « préférablement » q à partir de p, si les modèles « préférés » de p sont tous des interprétations qui rendent q vrai. La contrainte ci-dessus peut aussi être vue comme l’expression d’une « croyance acceptée » au sens défini plus haut. En effet accepter q (au sens d’une fonction g évaluant la confiance) suppose qu’on a une plus grande confiance en q qu’en ¬q, c’est-à-dire que l’on a g(q) > g(¬q). La condition ?(q) > ?(¬q), qui équivaut à N(q) > N(¬q) (et donc N(q) > 0) exprime bien qu’on accepte q. La contrainte représentant la règle par défaut « généralement si p alors q » revient à conditionner la contrainte N(q) > N(¬q) par la proposition p et exprime donc, en termes de fonction de possibilité, l’acceptation de q dans le contexte où p est vrai. Elle correspond d’ailleurs à une notion de possibilité conditionnelle ?(q|p) selon laquelle ?(p ? q) > ?(p ? ¬q) équivaut à N(q|p) = 1 – ?(¬q|p) > 0 [20]. Comme l’ont souligné différents auteurs, notamment Gärdenfors et Cohen [21], un ensemble de croyances acceptées doit être fermé pour la déduction classique :

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–) si on accepte q, on accepte aussi r si q implique r ([q] ? [r]) ;
–) si on accepte q et si on accepte r, on doit accepter q ? r.

32Ces deux conditions sont satisfaites par les fonctions de possibilité (et par les fonctions de nécessité duales) ; mais la deuxième condition n’est pas satisfaite par la plupart des mesures de probabilité (en effet Prob(q) > Prob(¬q) ? Prob(q) > 1/2, et on peut avoir Prob(q) > 1/2, Prob(r) > 1/2 et Prob(q ? r) < 1/2 simultanément). Il convient encore que ces deux conditions, exprimant la fermeture de la notion d’acceptation pour la déduction, restent satisfaites quand on conditionne par un contexte p ; c’est le cas pour les fonctions de possibilité.

33Appliquer une base de règles par défaut « généralement si p_i, alors q_i; » (i= 1, n) à une situation particulière décrite par une proposition p, revient à déduire, dans le contexte p, une proposition q à l’aide de connaissances génériques constituées par les règles. C’est-à-dire qu’à partir des inégalités ?(p_i ? q_i) > ?(p_i ? ¬q_i) pour i=l, n il faut établir l’inégalité ?(p ? q) > ?(p ? ¬q), ce qui exprimera que dans le contexte p on a généralement q. Quand on modifiera le contexte p en un contexte p’ plus particulier (par exemple on apprend qu’on a affaire à un pingouin et non plus simplement à un oiseau), la conclusion q’ qu’on pourra établir à partir de la même base de règles par défaut sera éventuellement en contradiction avec la conclusion q obtenue précédemment. Deux types d’inférence peuvent être considérés dans ce cadre : on peut

• soit s’intéresser aux conclusions obtenues à partir de la plus grande des fonctions de possibilité qui satisfait l’ensemble des n contraintes ?(p_i ? q_i) > ?(p_i ? q_i) représentant la base de règles, c’est la solution qui satisfait le principe de minimum de spécificité ; on peut dans ce cas utiliser la machinerie inférentielle de la logique possibiliste [22] puisque cette fonction de possibilité est associée à une fonction ? codant un ordre de plausibilité (ou encore, puisqu’il s’agit ici d’une connaissance générique, un ordre de plus ou moins grande normalité) entre les interprétations ;
• soit ne considérer que les conclusions, correspondant à des inégalités ?(p ? q) > ?(p ? ¬q), qui sont dérivables quelle que soit la fonction de possibilité satisfaisant aux n contraintes ?(p_i ? q_i) > ?(p_i ? ¬q_i). Il est clair que ce mode d’inférence, plus prudent, conduira à moins de conclusions.

Représentation en termes d’objet conditionnel

34Le second type d’inférence peut également être formalisé en termes d’« objets conditionnels » ou événements conditionnels. Il s’agit d’une entité algébrique, qui peut être vue comme la contrepartie logique d’une probabilité conditionnelle, pouvant présenter trois valeurs de vérité. L’objet conditionnel q|p, qui code une règle à exceptions de la forme « généralement, si p alors q » prend la valeur de vérité « Vrai » si p et q sont vrais, la valeur « Faux » si p est vrai et si q est faux, et enfin la valeur de vérité « Inapplicable » dès que p est faux (que q soit vrai ou faux). De Finetti [23] a été le premier à considérer de telles entités et a développé l’esquisse d’un calcul logique pour elles. On peut notamment définir une relation de conséquence logique qui dans la perspective des règles par défaut peut s’interpréter de la façon suivante : s|r est une conséquence de q|p si et seulement si les exemples de q|p (qui rendent vrai p ? q) sont des exemples de s|r, et les contre-exemples de s|r (qui rendent vrai r ? ¬s) sont des contre-exemples de q|p. Cette relation de conséquence peut s’interpréter simplement à l’aide des trois valeurs de vérité, en exprimant que la valeur de vérité de s|r est toujours au moins aussi grande que celle de q|p (au sens d’un ordre Faux < Inapplicable < Vrai ). Ce n’est que récemment que plusieurs chercheurs ont redécouvert indépendamment l’intérêt des objets conditionnels et que plusieurs calculs logiques ont été proposés [24]. L’un d’entre eux, basé sur la relation de conséquence déjà introduite et sur la conjonction (où p ? q = ¬ p ? q)

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36permet de formaliser le second type d’inférence mentionné plus haut. Cette conjonction signifie intuitivement que si on dispose des « règles » q|p et s|r, leur ensemble n’est applicable que si au moins l’une est applicable (c’est-à-dire si p ? r est vrai), et qu’alors l’ensemble des deux objets conditionnels n’est vrai que si on n’est pas en présence d’exceptions de l’une des règles (c’est-à-dire que ni p ? ¬q ni r ? ¬s ne sont faux). Cette conjonction peut s’exprimer de manière vérifonctionnelle en termes des trois valeurs de vérité que peuvent prendre les objets conditionnels. Il s’agit là d’un exemple d’un calcul logique où on a condensé en une seule entité des propositions intrinsèquement binaires. L’inférence à partir d’une base de règles par défaut, écrites sous la forme q_i|p_i pour i = l, n, d’un nouvel objet conditionnel q|p est définie comme l’existence d’un sous-ensemble de la base de « règles » dont la conjonction (l’opération & est clairement associative) a pour conséquence logique (au sens introduit ci-avant) l’objet q|p. Par convention, on conviendra que ce sous-ensemble peut être vide si q|p est une « tautologie conditionnelle » (c’est-à-dire si ¬p ? q est toujours vrai) et que dans ce cas l’objet q|p peut toujours être inféré. On peut montrer [25] que ceci est strictement équivalent au second type d’inférence à partir d’un système de contraintes possibilistes de type inégalité [26].

37Si on considère l’exemple des pingouins où on dispose de la base d’objets conditionnels {v|o, ¬v|p, o|p} (avec v = voler, o = oiseau, p = pingouin), on peut en déduire que ¬v|p & o|p = (¬v ? o) | p qui a pour conséquence logique (au sens définie ci-avant) ¬v|p ainsi que ¬v| o ? p, c’est-à-dire qu’on obtient bien que les pingouins ne volent pas (généralement) tout comme les oiseaux qui sont des pingouins, tandis qu’on peut bien entendu déduire de la base v|o, c’est-à-dire que les oiseaux volent. Cette approche reste cependant très prudente dans ses conclusions, car elle ne permet pas de déduire de la base ci-dessus que les oiseaux rouges volent, par exemple. En effet, on peut montrer qu’il est impossible de déduire v | (o ? r) (r = rouge) tout comme d’ailleurs ¬v | (o ? r), v | (o ? ¬r), … La conclusion que les oiseaux rouges volent pourra cependant être obtenue avec la première approche qui correspond à l’utilisation de la plus grande fonction de possibilité compatible avec les contraintes. En effet dans ce cas l’ordre de plausibilité sur les interprétations est le même que r soit vrai ou faux ou inconnu (puisque r n’intervient explicitement dans aucune contrainte).

38Plusieurs auteurs, en particulier Lehmann et Magidor [27], Gärdenfors et Makinson [28], ont proposé une série de formalisations de l’inférence « non monotone » pour le raisonnement par défaut sous forme de postulats que doit satisfaire une relation de conséquence logique non monotone (en affaiblissant les propriétés habituelles d’une relation de conséquence logique), tandis que Pearl [29], reprenant des idées de la logique probabiliste infinitésimale d’Adams [30], a développé une procédure algorithmique pour le raisonnement par défaut. De ces différents travaux émerge un consensus autour de deux types d’inférences plausibles à partir d’une base de règles par défaut, l’une étant plus aventureuse que l’autre.

39Ces deux types d’inférence ont été montrés respectivement équivalents des deux inférences définies plus haut en termes de fonctions de possibilité [31]. Benferhat, Dubois et Prade [32] en donnent une présentation d’ensemble incluant également

• l’approche en termes de probabilités infinitésimales proposée par Adams (1975), où une règle par défaut « généralement si p alors q » est interprétée comme Prob(q|p) est infiniment proche de 1 (mais différent de 1),
• et l’approche en termes de logiques modales conditionnelles [33] qui prend sa source dans les travaux de Lewis [34] sur la logique des « contrefactuels » (laquelle s’intéresse aux conditionnelles « irréelles » (« s’il était vrai que p alors il serait vrai que q »).