Les mathématiques de/dans la physique

1FRANÇOISE BALIBAR : Sous ce titre, un peu bizarre, « Les mathématiques hors d’elles-mêmes », sont rassemblées des réflexions portant sur le statut des mathématiques lorsqu’elles sont, comme l’on dit, « appliquées ». « Appliquées », l’adjectif peut leur être appliqué à elles-mêmes, dans l’expression « mathématiques appliquées », par opposition à ce qu’il est convenu d’appeler « les mathématiques pures » ; nous aurons peut-être l’occasion d’en reparler. Mais, plus simplement, les mathématiques peuvent être appliquées à d’autres disciplines, « hors d’elles-mêmes » : la physique, la biologie, l’économie, en particulier. Tu interviens dans ce panorama au titre de représentant de la physique.

2JEAN-MARC LÉVY-LEBLOND : Je ne sais pas si je suis vraiment habilité à « représenter » la physique, et ce que je vais dire ne devrait certainement pas être considéré comme faisant consensus chez les physiciens. En tout cas, pour moi, le problème de la physique est tout à fait spécifique : certes, les mathématiques y sont hors d’elles-mêmes mais je ne suis pas sûr qu’on puisse les considérer comme « appliquées ».

3Parce que si l’on pense en termes d’« application », on admet ipso facto qu’il s’agit d’un rapport d’extériorité : les mathématiques sont alors une espèce d’outil dont on se sert pour travailler dans un domaine complètement différent. Pour prendre un exemple trivial, à la fois du point de vue mathématique et aussi du point de vue de son intérêt, considère le décompte de… je ne sais pas… des vaches dans un pré, par exemple. Dans ce cas, on a d’un côté la mathématique des nombres entiers, et d’un autre, l’application de cette arithmétique au comptage des vaches. Les vaches du pré n’ont, elles, rien de mathématique ; par contre, la question qu’on se pose à leur sujet est une question mathématique et pour y répondre, on a recours à cet outil qu’est l’arithmétique des nombres entiers.

4À mon avis, en physique, il n’y a pas deux temps comme dans l’exemple des vaches : d’abord des questions, préalables à la mise en œuvre de l’outil mathématique et ensuite des réponses, grâce à l’utilisation de cet outil. La physique est pour ainsi dire d’emblée traversée par les mathématiques – depuis qu’elle est ce qu’elle est au sens moderne du terme, essentiellement depuis la « coupure galiléenne » au XVIIe siècle. Il n’ y a pas entre la mathématique et la physique un rapport d’extériorité. Pour ma part, je ressens plutôt leur relation comme un rapport d’intériorisation des mathématiques au sein de la physique ; on pourrait d’ailleurs, par opposition à « application », parler d’« implication » des mathématiques dans la physique. Autrement dit, on ne peut pas penser la physique sans passer par (penser par) les mathématiques. Ce qui caractérise la physique, c’est qu’aucun concept n’y échappe à une formulation mathématique.

5F. BALIBAR : Formulation ?

6J.-M. LÉVY-LEBLOND: Formulation et formalisation à la fois. Formulation, oui – au sens que, pour reprendre l’exemple (qui a beaucoup servi) de la vitesse, celle-ci ne devient un concept de la physique qu’à partir du moment où l’on est capable de lui donner une expression, une formulation mathématique.

7F. BALIBAR : C’est-à-dire une formulation en termes de dérivée ?

8J.-M. LÉVY-LEBLOND : Pas nécessairement. Justement, Galilée, qui n’a pas la notion de dérivée à sa disposition (elle n’apparaîtra que quelques décennies plus tard), travaille sa notion de vitesse instantanée avec la théorie des proportions d’Euclide. Pour passer de la notion commune de vitesse – ce cheval va plus ou moins vite –, à une notion physique véritablement théorique et par là même définir une grandeur « vitesse », il est obligé de trouver une façon de la mathématiser, de lui donner une forme, ou plutôt un contenu mathématique.

9Mais une même notion physique est susceptible de plusieurs mathématisations, plus ou moins profondes, plus ou moins opératoires. Si Galilée se sert de la théorie des proportions d’Euclide, c’est faute de disposer du concept de dérivée qui interviendra plus tard.

10F. BALIBAR : Quand tu dis « définir une grandeur », qu’entends-tu exactement ?

11J.-M. LÉVY-LEBLOND : Dans ce cas particulier, très simple, la notion de vitesse devient une grandeur physique grâce à sa numérisation. On pourra alors parler de la valeur (numérique) de la vitesse.

12F. BALIBAR : Ne s’agit-il pas d’une opération qui est plus qu’une simple numérisation ? Car cette grandeur va ensuite intervenir dans des formules où elle jouera un rôle qui ne se réduit pas à être un nombre.

13J.-M. LÉVY-LEBLOND : Certes, la numérisation n’est qu’une première étape, la plus simple, par laquelle il faut passer : si l’on veut que la vitesse puisse entrer en relation avec d’autres concepts sur un mode articulé systématique, le plus simple est d’en faire un nombre. Par la suite, le terme de « grandeur physique » sera entendu en un sens plus large faisant intervenir des concepts mathématiques beaucoup plus sophistiqués. Mais le point important ici est que la vitesse acquiert une conceptualisation mathématique.

14F. BALIBAR : D’accord ; mais alors, d’où vient que les grandeurs de la physique puissent acquérir cette conceptualisation mathématique, et que les grandeurs de la biologie ne le puissent pas ?

15J.-M. LÉVY-LEBLOND : Il faudrait demander aux biologistes ce qu’ils en pensent ; mais en tant que physicien, il me semble effectivement que la plupart des concepts fondamentaux de la biologie ne sont pas mathématisés, ne sont même pas numérisés. Quand on parle du gène, par exemple, il n’y a pas de structure mathématique qui correspond à cette notion.

16F. BALIBAR : Tu veux dire qu’il n’y a même pas un nombre qu’on puisse faire correspondre à la notion de gène ?

17J.-M. LÉVY-LEBLOND : Non, certainement pas un (ou même des) nombre(s). Mais on pourrait imaginer autre chose qu’un nombre… une structure géométrique ou une structure algébrique compliquée, comme c’est le cas en physique où tout n’est pas nombre. Mais dans ce cas là, on…

18F. BALIBAR : Attends ! « Tout n’est pas nombre en physique », cela ne me semble pas si évident ; certes, il y a des opérateurs algébriques, des concepts géométriques, etc., mais au bout du compte, il y a toujours des nombres, non ?

19J.-M. LÉVY-LEBLOND : Non, il y a des formes aussi ; des nombres et des formes. Par exemple, pour parler des propriétés de symétrie des objets, on a recours à la notion de groupe – qui n’est pas une notion numérique. Les mathématiques ne se réduisent pas aux nombres. C’est pour cela que je disais tout à l’heure que le cas du nombre est le plus simple historiquement ; la plupart des notions de la physique, du moins classique, sont au départ numériques – éventuellement il peut s’agir de nombres généralisés : des vecteurs voire des opérateurs. Mais il existe bien des objets mathématiques qui ne sont pas numériques.

20F. BALIBAR : Je reviens à ma question : à quelle caractéristique de la biologie et de la physique respectivement attribuer l’origine d’une telle différence dans leurs rapports aux mathématiques ? Cela tient-il à leur objet : l’inanimé/l’animé ? Ce ne peut pas être ça !

21J.-M. LÉVY-LEBLOND : Non en effet, c’est trop trivial. Les biologistes travaillent aussi sur des objets qui ne sont pas vivants – une molécule d’ADN, ce n’est pas vivant, un gène, ce n’est pas vivant. Ce n’est donc pas cette distinction simpliste – l’inanimé/l’animé, le vivant/le pas vivant –, qui distingue la biologie de la physique. Cette question relève d’un problème beaucoup plus général : existe-t-il une détermination intrinsèque des disciplines scientifiques ? Peut-on caractériser la physique ou la biologie ou la chimie par des critères qui ne se réfèrent qu’à l’« objet » de la science en question, comme on disait autrefois ? Je ne le pense pas.

22F. BALIBAR : Peux-tu en dire plus ?

23J.-M. LÉVY-LEBLOND : Il me semble qu’il existe entre disciplines des interfaces qui ne se réduisent pas à des frontières, mais qui sont plutôt des zones floues. L’exemple le plus simple est celui de la physique et de la chimie. On voit bien qu’il existe un large domaine, que les physiciens appellent « physique moléculaire » et les chimistes « chimie moléculaire », où l’on s’occupe des mêmes objets. Certes, les techniques, à la fois expérimentales et théoriques, avec lesquelles les uns et les autres s’occupent de ces objets, ne sont pas tout à fait les mêmes – en général du moins. Mais ces différences, quand elles existent, ont des déterminations contingentes, historiques, sociologiques, non intrinsèques aux objets d’étude.

24F. BALIBAR : Pourrais-tu me citer un outil théorique qui soit propre à la chimie ?

25J.-M. LÉVY-LEBLOND : Oui, bien sûr. Un exemple simple : la notion de valence. Le physicien explique la notion de valence dans ses propres termes ; il la « transcrit » en termes de théorie quantique, d’occupation de niveau, de liaison électronique, etc. Mais la notion initiale de valence, le fait qu’un corps soit monovalent, bivalent, trivalent, etc., est une notion directement chimique.

26F. BALIBAR : Tu penses donc qu’on ne peut pas définir les disciplines par leurs objets.

27J.-M. LÉVY-LEBLOND : Pas uniquement. Elles ne sont pas uniquement définies par leurs objets. D’autant que ces objets ne préexistent pas ! Les différentes sciences définissent différemment leurs objets : la molécule du chimiste n’est pas la molécule du physicien.

28F. BALIBAR : Je réitère ma question en la précisant : d’où vient qu’il ne soit pas possible d’effectuer à propos des concepts de la biologie, de certains d’entre eux au moins, le même travail d’« explication » ou de « transcription » que celui effectué à propos de la valence chimique ?

29J.-M. LÉVY-LEBLOND : Je répondrais de la façon suivante : parce que ce travail est d’autant plus difficile que la science considérée s’occupe d’objets compliqués. Je dis « compliqués » plutôt que « complexes » parce que je ne veux pas m’embarquer dans une discussion sur la complexité – qui à mon avis est un non-concept. Le moindre virus est un objet incroyablement plus compliqué que l’atome le plus gros. Et du coup, la précision et l’acuité des notions mathématiques n’ont pas prise (ou ont mal prise) sur des objets aussi compliqués que ceux qu’étudie la biologie. Pour utiliser une métaphore simpliste, je dirais que les mathématiques offrent un instrument d’analyse d’une finesse incomparable – qui, par là-même, est extrêmement fragile. C’est un peu comme si on cherchait à couper un arbre avec un scalpel. Avec un scalpel, on ne peut faire que des dissections très fines, sur des morceaux d’objets déjà réduits et soigneusement nettoyés.

30F. BALIBAR : Pourquoi dis-tu que l’analyse mathématique est très « fine » ? « Fine » en quel sens ?

31J.-M. LÉVY-LEBLOND : Il me semble que pour qu’un objet mathématique soit digne de ce nom, il faut qu’il soit vraiment minimal, que la réalité concrète ou l’idée abstraite dont on est parti ait été épurée, que l’objet de départ ait été privé de toute une série de qualités… Pour prendre l’exemple le plus trivial : le nombre, et même le simple nombre entier, c’est ce qu’on obtient quand on décide de ne plus s’intéresser à ce que l’on compte, et de se concentrer sur ce qu’il y a de commun à des collections de vaches, de fleurs ou de cailloux. Si on s’intéresse vraiment à deux vaches pour elles-mêmes, le concept même de « deux » perd une partie de sa pertinence parce que pour compter 2, il faut que le 1 et le 1 que l’on ajoute soient absolument identiques l’un à l’autre. Or on n’a jamais deux vaches absolument identiques.

32Cet exemple très élémentaire montre bien ce qu’exige toute procédure mathématique. Pour pouvoir compter, utiliser les nombres entiers, il faut avoir déjà viré un certain nombre d’aspects intéressants et ne conserver qu’une identité minimale : pour déterminer le nombre de ces bestioles que l’on cherche à décompter, il faut oublier quelles sont ces bestioles, quelles sont leurs propriétés et quelles sont leurs différences.

33Il me semble – encore une fois sous réserve de ce que pourront dire les biologistes eux-mêmes – que les biologistes s’intéressent à des objets tellement compliqués qu’une telle procédure préparatoire n’a, pour eux, guère de sens. Les fonctions biologiques mettent en jeu des phénomènes d’une complication bien plus grande que n’importe quel phénomène physique. Je n’affirme pas que les mathématiques ne pourraient pas trouver en biologie un rôle analogue à celui qu’elles ont en physique. Je dis simplement que, pour l’instant en tout cas, je ne vois pas comment définir ce rôle et comment le déterminer – et il y a de bonnes raisons pour penser que c’est là une tâche extrêmement difficile… et pas forcément possible. D’ailleurs, le fait que les mathématiques « marchent » si bien en physique n’était pas prévisible a priori. Aristote avait de bonnes raisons d’en douter. Et il a fallu un sacré culot à Galilée pour en faire un fondement de la physique.

34F. BALIBAR : Des objets « compliqués »… mais les objets de la physique sont-ils si simples ?

35J.-M. LÉVY-LEBLOND : Oui, je crois que la plupart des objets de la physique sont vraiment simples. Ils peuvent être sophistiqués. Si tu veux, la structure d’un atome met en jeu des concepts qui ne sont pas du tout intuitifs, mais un atome ce n’est quand même pas vraiment compliqué : un noyau et quelques électrons – même si les concepts qui les décrivent sont relativement élaborés, en tout cas beaucoup plus sophistiqués que la simple notion de nombre entier par exemple. Donc dans le cas de l’atome, les notions mathématiques sont raffinées mais l’objet est très simple.

36F. BALIBAR : Un atome d’accord ; mais pense à la météorologie, qui est de la physique… appliquée.

37J.-M. LÉVY-LEBLOND : Oui, c’est de la physique appliquée. Et comme on a affaire à de grands systèmes, on a besoin de moyens de calcul puissants, etc. Mais quand même, ce que la météorologie étudie, même avec de la thermodynamique et de la mécanique des fluides relativement élaborées, ce n’est pas très compliqué : un nuage, c’est quand même beaucoup plus simple qu’une cellule vivante !

38F. BALIBAR : Si je te suis bien, l’étonnante sûreté avec laquelle la physique, sans jamais en faire un principe, s’est arrangée pour éliminer le vivant – alors même que pour Galilée ce qui est écrit dans le grand livre de la Nature inclut tout autant le vivant que l’inanimé –, s’expliquerait par la nécessité, propre à la physique mathématique (post-galiléenne), d’épurer au maximum les objets dont elle parle – pour pouvoir en parler justement. Si la physique ne traite pas du vivant, ce n’est pas en raison d’une caractéristique propre à « la vie » qu’il lui serait impossible d’intégrer à son système de pensée, mais tout simplement parce que le vivant est trop compliqué pour que le travail préparatoire d’élagage dont on parlait tout à l’heure soit seulement envisageable : débroussailler un petit bois de chênes c’est possible ; débroussailler la forêt tropicale, ça ne l’est pas : elle est trop touffue.

39J.-M. LÉVY-LEBLOND : La physique n’écarte pas que le vivant, elle écarte aussi la finalité et bien d’autres questions justement dites métaphysiques. Voir par exemple comment elle réduit la notion de cause par rapport à la subtile typologie aristotélicienne. En fait, on en revient à la question du « miracle » de l’adéquation des mathématiques au monde réel. Et une fois de plus, se pose la question de Wigner, ce grand physicien théoricien du siècle passé,… comment dit-il déjà ?

40F. BALIBAR : The unreasonable effectiveness of mathematics…

41J.-M. LÉVY-LEBLOND : The unreasonable effectiveness… C’est ça. L’efficacité déraisonnable…

42F. BALIBAR : Non : « déraisonnable » tirerait du côté de la folie et ne convient donc pas ; unreasonable : non-raisonnable. C’est un intraduisible.

43J.-M. LÉVY-LEBLOND : Irraisonnable ?

44F. BALIBAR : Oui.

45J.-M. LÉVY-LEBLOND : Et Wigner affirme l’efficacité irraisonnable des mathématiques par rapport au monde réel en général.

46F. BALIBAR : Oui. In the natural sciences, dit-il.

47J.-M. LÉVY-LEBLOND : C’est bien ça, « dans les sciences naturelles ». Mais je tiens cet énoncé pour erroné. Les mathématiques n’ont pas dans les sciences naturelles en général l’efficacité, irraisonnable ou pas, qu’elles montrent en physique. Elles n’ont pas d’efficacité semblable en biologie. Ni en géologie, par exemple. La géologie n’est pas une science mathématisée : tel ou tel aspect de la géologie moderne, la tectonique des plaques par exemple, peut certes utiliser des modèles géométriques, mais la plupart des concepts de la géologie – synclinal et anticlinal, failles et dorsales, cycles biogéochimiques, etc. – ne sont pas des notions mathématisables. Elles n’ont d’ailleurs pas besoin de l’être.

48F. BALIBAR : And so what ?

49J.-M. LÉVY-LEBLOND : Eh bien, alors le domaine où s’exerce l’irraisonnable efficacité de Wigner est considérablement réduit : on est passé de l’ensemble des sciences naturelles à la seule physique ! Reste à se demander d’où vient cette irraisonnable efficacité des mathématiques en physique. Je propose en fait d’inverser la question et de la transformer en définition : en première approximation, la physique est précisément le domaine où les mathématiques ont cette efficacité. C’est une définition de degré zéro. Comme je l’ai dit, a priori, rien ne prouve qu’une telle forme de science naturelle doive exister. D’ailleurs, que Galilée ait eu besoin d’en donner une affirmation de principe est bien la preuve que ce n’était pas évident.

50F. BALIBAR : Ah bon ? Mais Galilée n’a jamais manifesté, du moins dans ses écrits, le moindre doute quant à l’efficacité de sa méthode !

51J.-M. LÉVY-LEBLOND : Justement ! Il donne un énoncé bien trop absolu, et cela a été suffisamment relevé au cours des siècles. Galilée va trop loin quand il parle du grand livre de la Nature. Certes, à cette époque, la distinction entre nature animée et nature inanimée n’est pas encore faite ; Galilée inclut dans « la nature » la croissance en pot d’un petit oranger obtenu en enfouissant un pépin dans la terre. D’ailleurs, le mot important pour Galilée, n’est pas « physique » mais « philosophie naturelle ». Il croit possible de développer une philosophie naturelle des sciences de la nature sur le modèle général de sa mécanique naissante. La suite ne lui donnera pas raison.

52F. BALIBAR : Oui, mais alors comment s’est faite cette séparation ?

53J.-M. LÉVY-LEBLOND : Par le simple constat que ce qu’ont réussi à faire les physiciens n’a pas été possible ailleurs. Plus tard, quand les savants se sont mis à examiner la nature animée, à faire vraiment de la biologie la « science de la vie », ils ont dû procéder autrement, sans mathématiques. Un exemple de ce clivage est instructif. On est aux débuts de la science de l’électricité, à la fin du XVIIIe siècle, au moment justement de la séparation entre physique et biologie ; et l’électricité est d’abord étudiée dans ses rapports avec le corps animal, sur un mode biologisant.

54F. BALIBAR : Galvani et ses grenouilles…

55J.-M. LÉVY-LEBLOND : Et auparavant, le magnétisme de Messmer, l’Abbé Nollet qui fait sauter en l’air des soldats alignés en rang continu en les raccordant à une bouteille de Leyde, etc. Donc l’électricité au départ se manifeste essentiellement par ses effets dans et sur le vivant. Et c’est là qu’intervient la grande dispute entre Volta et Galvani. Pour Volta, les grenouilles de Galvani sont contingentes. Elles ne servent que d’appareil de détection, et le fait qu’il s’agisse d’organismes vivants n’a rien à voir avec l’essence de l’électricité. Volta aura raison. Delambre peut ainsi écrire en 1810 : « Tout ce qui concerne la lumière, la pesanteur, le mouvement et le choc des corps est aujourd’hui presque uniquement du ressort de la géométrie […]. On a même tenté de soumettre au calcul les phénomènes de magnétisme et d’électricité », faisant évidemment allusion à la loi de Coulomb.

56F. BALIBAR : Oui. Est-ce que cela signifie que les mathématiques (sous les espèces de la loi de Coulomb) marchent aussi dans ce cas, qu’on croyait « biologique » ?

57J.-M. LÉVY-LEBLOND : Précisément. Mais on voit bien ce qui se passe. Que ça marche n’implique nullement que les mathématiques vont envahir le champ de la biologie. Bien plutôt, comme les mathématiques révèlent leur efficacité pour ce type de phénomènes, la physique les récupère. Et dès lors, l’électricité devient un domaine de la physique.

58F. BALIBAR : Pourtant, l’idée que le caractère animé/inanimé d’un objet matériel test, point d’application des forces, importe peu en physique a mis du temps à s’installer. Il existe un texte de Newton, cité par Starobinski dans Action et réaction, dans lequel Newton explique que si un cheval tire sur une pierre, par l’intermédiaire d’une corde, le cheval est aussi tiré par la pierre. C’est un des rares moments, peut-être le seul dans les Principia, où Newton introduise un être vivant dans son discours. Mais cela lui pose un problème, car il ajoute, « if I may say so » : le cheval est, if I may say so, tiré par la pierre. Newton, visiblement, n’est pas sûr que dans son système de philosophie naturelle, un cheval puisse être traité comme une pierre.

59J.-M. LÉVY-LEBLOND : À cette époque, la séparation au sein du domaine du vivant entre ce qui relève spécifiquement de la « vie » et ce qui dans le vivant est lié à sa matérialité physique (la matière vivante est certes vivante, mais c’est d’abord de la matière) n’est pas clairement établie : dans l’esprit de Descartes, son « optique » – où la matière vivante est dés-animée en cela qu’elle est caractérisée par un indice de réfraction –, optique que nous qualifions aujourd’hui de « géométrique », est une science tout autant physique que physiologique. J’aurais envie de dire les choses de la façon suivante : arrive un moment où la physique, qui marche tellement bien dans les domaines de l’inanimé et qui a été capable de récupérer des domaines que l’on pensait relever du vivant (comme la conduction de l’électricité que l’on qualifiait d’animale), accepte d’en rabattre sur les ambitions qui étaient celles de la philosophie naturelle de Galilée, et de laisser le reste, ce qui n’est pas mathématisable, ou pas encore mathématisé, aux autres disciplines.

60Au fur et à mesure que progresse la connaissance des phénomènes de la nature et que l’on prend conscience de leur infinie richesse, face à l’énormité du nombre des espèces vivantes que l’on découvre à cette époque de grandes expéditions, face à l’extrême complication du schéma d’organisation des êtres vivants, à leur surprenante adaptabilité, …

61F. BALIBAR : Excuse-moi de t’interrompre. Juste pour dire que Pablo Meyer, dans le présent numéro de la revue, explique que, sans le voyage sur le Beagle, la théorie de l’évolution n’aurait pas germé dans le cerveau de Darwin : le choc que fut pour Darwin le constat de l’incroyable diversité des espèces tout autour du globe a détourné le cours de ses premières réflexions, l’obligeant à produire une théorie qui, avant tout, puisse rendre compte de cette diversité.

62J.-M. LÉVY-LEBLOND : Effectivement, c’est donc bien au début du XIXe siècle que l’on prend conscience de ce foisonnement, de cette richesse absolument insensée du monde vivant, et que l’on commence, en conséquence, à douter de la faisabilité du projet consistant à ranger toute la nature sous des catégories aussi rigides que celles que peuvent offrir les mathématiques.

63F. BALIBAR : Une chose m’a toujours étonnée. Un peu plus tard, dans la deuxième moitié du XIXe siècle donc, fleurissent en physique des tentatives ayant pour objectif d’inclure dans la théorie une explication, sur des bases mécanistes, de ce qu’en bons kantiens ces physiciens-philosophes appelaient « perception » (Wahrnehmung) : sensation si on la rapporte au sujet conscient et connaissance si on la rapporte à l’objet. Je pense à Helmholtz dont les travaux sur la musique et la vision sont à cheval sur la physiologie et la physique et dont le fameux mémoire sur la conservation de l’énergie a été motivé essentiellement par des considérations de physiologie. Je pense à Mach et son analyse des sensations, à Mayer, médecin et fondateur de la thermodynamique ; et même à Poincaré, développant des arguments quasiment physiologiques quand il expose sa conception des relations entre mathématiques et physique. Ce qui m’étonne, c’est que ce mouvement, qui avait l’air bien parti, s’arrête tout d’un coup – je serais tentée de dire après 1905, après l’entrée en scène d’Einstein donc. Pourquoi ? Que s’est-il passé ?

64J.-M. LÉVY-LEBLOND : Je ne pense pas que ces tentatives prennent fin. Elles continuent – mais échouent, pour le dire un peu brutalement. Après tout, on assiste tout au long du XXe siècle à des tentatives de mathématisation de la biologie : la géométrisation de la morphologie chez d’Arcy Thomson, l’école de biologie mathématique de Rashevsky dans les années quarante-soixante, celle des biomathématiciens qui s’efforcent de construire un formalisme générique. On trouve encore cette idée chez Wiener : son livre Cybernétique porte en sous-titre Contrôle et communication chez l’animal et la machine. Le programme de la première cybernétique qui mènera surtout au démarrage de l’informatique – la cybernétique en tant que telle ne devient pas une science –, est déterminé par ce même projet : combler l’écart entre les sciences du vivant et celles de la matière inanimée.

65F. BALIBAR : Il me semble que c’est un peu différent de ce que Helmholtz et consorts recherchaient, à savoir une théorie « causale » de la perception.

66J.-M. LÉVY-LEBLOND : Ce n’est pas si différent, parce que chez Wiener aussi, il y a forcément la notion de perception ; mais il y rajoute l’idée majeure d’action en retour. Je crois donc que la question d’une mathématisation de la biologie reste posée en permanence. Elle est reprise sous différents angles mais bute toujours, me semble-t-il, sur la trop grande complication des phénomènes ; sauf localement – car il y a quand même quelques succès locaux. D’ailleurs, après tout, Helmholtz a accompli une partie de son programme : l’analyse de la vision des couleurs par la théorie trichromatique marche plutôt bien. Mach, lui, a échoué parce qu’il voulait faire plus et mieux que Helmholtz. Et de fait, une fois que l’on a compris qu’il y a trois pigments, trois récepteurs dans la rétine, le problème reste ouvert de comprendre comment le signal physiologique se transforme en perception au sens véritable, en conscience de la couleur ? C’est loin d’être évident.

67***

68F. BALIBAR : Je voudrais aborder la question des « mathématiques hors d’elles-mêmes » sous un autre angle. On assiste aujourd’hui à une espèce de fusion (pour ne pas dire confusion) des genres : la distinction entre mathématiques et physique semble avoir fait long feu. C’est du moins ce que je me dis en voyant que les mathématiciens travaillent sur l’équation de Boltzmann. Au secours ! Pour moi l’équation de Boltzmann, c’est de la physique…

69J.-M. LÉVY-LEBLOND : Tu penses aux travaux de Cédric Villani, bien sûr ? Mais si tu regardes son papier, tu verras que ce n’est pas de la physique. Nous physiciens avons le plus grand mal à le comprendre. J’ai entendu Villani raconter son travail, celui qui lui a valu la médaille Fields ; effectivement, au départ, tu as un problème de physique, l’amortissement de Landau, et nous, physiciens, pouvons comprendre le problème, et même les idées générales que le mathématicien va employer pour le traiter. Mais à partir du moment où il commence à le traiter vraiment, on est à un niveau de sophistication où le physicien normal, même avec une bonne formation mathématique, ne suit plus.

70F. BALIBAR : D’accord, je vois ; mais est-ce que ce travail explique quoi que ce soit en physique ?

71J.-M. LÉVY-LEBLOND : Grande question ! Le physicien a-t-il besoin de ce degré de sophistication que lui offre le mathématicien ? Certes, désormais les mathématiciens peuvent nous expliquer de façon absolument rigoureuse l’amortissement de Landau : « Bravo, merci les gars. Mais nous n’avions pas besoin de ça pour y croire. ». Nous aurions pourtant tort de ne considérer ce travail que comme un jeu inutile, une prouesse de pure virtuosité mathématique. Car après tout, il aurait pu se faire que Villani aboutisse à démontrer rigoureusement l’impossibilité d’expliquer l’amortissement de Landau, ce qui nous aurait forcés à revoir complètement nos idées. Il y a bien des cas de ce genre où la rigueur mathématique force le physicien à transformer son approche.

72F. BALIBAR : Alors, je reprends tes propres phrases dans ton article « Physique et mathématique » de l’Encyclopædia Universalis il y a quarante ans, les mathématiques seraient capables de produire des connaissances proprement physiques ?

73J.-M. LÉVY-LEBLOND : Je ne crois pas avoir écrit exactement cela… En tout cas, aujourd’hui, je dirais plutôt qu’on ne peut produire de connaissances physiques qu’à travers les mathématiques. Ce qui n’est pas tout à fait la même formulation. Il s’agit bien de connaissances de physique. Ce ne sont pas les mathématiques qui les produisent, mais on ne peut pas ne pas passer par les mathématiques pour les produire.

74Faute de mieux, j’utiliserai une métaphore : pour aller loin, on est bien obligé de prendre un moyen de transport. On peut dire, si on veut, que c’est l’utilisation de ce moyen de transport qui produit le déplacement. Il me semble que c’est ce rôle que jouent les mathématiques dans le cas de la physique, celui de moyen de transport de la pensée. Les mathématiques pensent pour toi, de même que l’avion te transporte, parce qu’autrement ce serait trop difficile, voire impossible – il est impossible d’aller à New York à pied !

75F. BALIBAR : Oui… les mathématiques pensent pour toi ; en tout cas, cela correspond bien à ce que l’on ressent parfois.

76J.-M. LÉVY-LEBLOND : On peut reprendre l’exemple standard de la vitesse. Penser une vitesse instantanée, c’est très difficile, on se heurte vite à l’un des paradoxes de Zénon (la flèche qui à tout instant est immobile), et l’on voit bien les efforts (et les erreurs) du pauvre Galilée dans sa théorisation. Et puis arrivent Newton et Leibniz, quelques décennies plus tard, qui inventent la notion de dérivée. À partir de ce moment, il n’est plus nécessaire de penser : on a x = f(t) ; on dérive et on a la vitesse v = f’(t)… avec tous les risques que l’on prend en s’en remettant aveuglément à la machinerie mathématique. Je reviens à la métaphore du moyen de transport : ton avion peut se casser la figure, il se peut qu’au moment où tu en aurais besoin, il n’y ait pas de piste libre. La même chose peut arriver ici : tu étudies le mouvement brownien, par exemple ; tu t’aperçois alors que la notion de vitesse usuelle ne fonctionne pas parce que la trajectoire n’est pas dérivable. Autrement dit, la mathématisation est toujours risquée et ne peut se passer d’une pensée vraiment physicienne. C’est en ce sens-là que je parle de « production » de connaissances physiques ; les mathématiques fournissent une machine à produire des idées physiques – encore faut-il apprendre à conduire et savoir maîtriser cette machine.

77F. BALIBAR : C’est justement cela qui visiblement ne se produit pas en biologie. Tu disais tout à l’heure : c’est parce que les situations rencontrées en biologie sont trop compliquées. Cela donnerait raison à Alain Prochiantz déclarant qu’il faudrait inventer de nouvelles mathématiques, pour la biologie spécifiquement. En somme, les mathématiques telles qu’elles se sont développées jusqu’à présent constituent un moyen de transport satisfaisant et utile pour les physiciens mais encore nettement insuffisant pour les besoins des biologistes ; c’est comme si on leur proposait de traverser l’Atlantique à l’aide d’un avion de tourisme.

78J.-M. LÉVY-LEBLOND : Oui par exemple. La demande d’Alain Prochiantz, quant à l’invention de nouvelles mathématiques, me semble raisonnable. Après tout, il est déjà arrivé que les physiciens doivent inventer, ou utiliser, des mathématiques autres que celles qu’ils connaissaient. Descartes, par exemple, pense pouvoir décrire le monde « par figures et mouvements », donc nécessairement sur un mode géométrique. Venant après Galilée, mais avant Newton, il bute lui aussi sur la difficulté de penser la vitesse instantanée. Comme l’écrivent Vincent Jullien et André Charrak dans Ce que dit Descartes touchant la chute des graves (Presses Univ. Septentrion, 2002) : « Descartes, qui donne toute sa puissance à l’application générale de l’algèbre à la géométrie, paraît hésiter et suspendre l’application générale de la géométrie algébrique à la physique ».

79F. BALIBAR : Ces auteurs rappellent d’ailleurs le commentaire, sans doute un peu outrancier, de Bachelard sur le paradoxe des rapports entre physique et mathématique chez Descartes : « La physique de Descartes est une physique de l’objet non mesuré, une physique sans équations, une représentation géométrique sans échelle désignée, sans métamathématiques ».

80J.-M. LÉVY-LEBLOND : Et l’on voit bien que pour avancer vraiment, il faut sortir de la géométrie, même algébrisée, et inventer de nouvelles mathématiques. Si Newton s’obstine à vouloir démontrer toutes les propositions de ses Principia de façon géométrique, force sera de reconnaître au bout du compte que, dès lors que le calcul différentiel a été inventé, par Newton lui-même et Leibniz, il est plus simple – mieux : plus efficace et plus juste – d’y avoir recours. La physique se met donc à utiliser des mathématiques qui n’existaient pas auparavant, des mathématiques d’un genre tout à fait nouveau. La même chose se reproduit à la fin du XIXe siècle : les mathématiciens ayant largement généralisé le point de vue algébrique, en particulier avec la théorie des groupes, il est possible pour les physiciens de recourir à de nouveaux « moyens de transport » mathématiques. On sait la fécondité qu’aura cette stratégie, tant en cristallographie d’abord que, au niveau le plus fondamental, dans la théorisation de l’espace-temps (relativité) et l’étude des systèmes quantiques.

81F. BALIBAR : Tu dis, en somme, qu’inventer aujourd’hui de nouvelles mathématiques qui permettraient de mathématiser la biologie, ce ne serait rien d’autre que marcher dans les pas de la physique qui, dans ses rapports aux mathématiques, n’a jamais procédé autrement.

82J.-M. LÉVY-LEBLOND : Oui, mais rien ne prouve non plus que de telles mathématiques existent. Pour ma part, je m’accommode assez bien de l’idée qu’il y a des domaines du réel qui sont trop compliqués, ou trop résistants, pour que le scalpel mathématique puisse y intervenir et trancher dans le vif avec assez de précision et d’efficacité. Poursuivant ma métaphore, je dirais que s’il est vrai qu’on ne peut pas aller aux États-Unis à pied ou même à la nage, on peut y aller quand même, en avion. Mais aller sur la Lune, ça, c’est impossible en avion, faute d’une atmosphère porteuse. Tu me diras : on peut y aller en fusée ; mais rien ne garantit que l’on puisse toujours inventer un mode de transport capable de nous emmener toujours et encore plus loin, sur une étoile lointaine, par exemple, etc. Il se peut même d’ailleurs que l’on sache un jour comment résoudre le problème technique, mais qu’on décide de ne pas y avoir recours, faute d’énergie, de temps, d’argent… Ou même, faute de ressources intellectuelles suffisantes.

83Si Alain Prochiantz veut dire qu’il n’y a pas d’obstacle de principe à ce que les mathématiques puissent faire pour la biologie ce qu’elles ont fait pour la physique, je suis d’accord. Il n’y a pas d’obstacles de principe ; mais il n’y a pas non plus de nécessité pour que cela se fasse.

84On peut d’ailleurs revenir sous un autre angle à la question de « l’irraisonnable efficacité des mathématiques ». Cette efficacité, d’abord, ne vaut pas, nous l’avons dit, pour les sciences naturelles en général ; elle vaut pour la physique et dans quelques cantons particuliers des autres sciences de la nature. Mais il faut aussi poser la question à l’inverse en quelque sorte, et se demander si cette efficacité est aussi massive que le laisse à penser la formule de Wigner. En réalité, une énorme partie du corpus mathématique n’est d’aucune utilité pour les physiciens. C’est là une constatation qui ne peut être faite que depuis peu ; au début du XXe siècle, les physiciens étaient plutôt sidérés par le « miracle » du calcul tensoriel qui permet la relativité générale, le « miracle » de la théorie des groupes qui permet la théorie quantique, etc. Mais, au cours du XXe siècle, les mathématiques ont connu un développement d’une telle richesse, produisant une telle abondance d’objets mathématiques nouveaux qu’il serait pour le coup « irraisonnable » d’imaginer qu’ils trouvent tous à s’appliquer dans les sciences de la nature.

85F. BALIBAR : Oui, les mathématiques ne sont plus ce qu’elles étaient ! En cinquante ans, elles ont changé de nature, pourrait-on dire. Il n’est que de voir – on l’a dit – ce sur quoi travaillent les jeunes mathématiciens aujourd’hui : sur ce qu’il y a cinquante ans on appelait des mathématiques appliquées (l’équation de Boltzmann, de Navier-Stokes…). On compte sur les doigts de la main les jeunes mathématiciens occupés à des problèmes de « mathématiques pures » comme on disait. Combien sont-ils à faire une thèse en théorie des nombres ? L’évolution des mathématiques dans les dernières décennies les a, en quelque sorte, portées hors d’elles-mêmes.

86J.-M. LÉVY-LEBLOND : Mais on ne peut dire qu’elles ont été portées hors d’elles-mêmes qu’en référence à une conception, qui est, à mon sens, typique de la fin du XIXe siècle et du début du XXe, selon laquelle il existe une adéquation prédéterminée entre les structures mathématiques et les structures du réel. D’où cet étonnement qui est celui de Wigner, comme, spontanément, de tous les physiciens, devant le fait que « les mathématiques, ça marche ».

87Peut-être est-il alors salubre, pour dépasser la doxa, de considérer que ça ne marche pas, pas si bien en tout cas. Pour deux raisons : d’une part, parce qu’il existe nombre de domaines du réel dont les mathématiques ne savent rien dire, et d’autre part, parce qu’il existe nombre de domaines des mathématiques qui n’ont rien à voir avec la réalité matérielle. Prenons un exemple simple : on s’est beaucoup émerveillé de ce que les géométries non-euclidiennes puissent servir à la physique. Or la relativité einsteinienne ne fait pas usage des géométries non-euclidiennes en général, mais d’une géométrie non-euclidienne très particulière, quadridimensionnelle, dite de Minkowski. Le nombre des espaces non-euclidiens est infini, et l’énorme majorité des structures non-euclidiennes n’ont aucun rôle en physique. On pourrait faire le même constat à propos des groupes ; la notion de groupe est fondamentale en physique, mais la plupart des structures de groupe, ainsi que des théorèmes dont ils sont l’objet, ne trouvent pas de place en physique. Ainsi de la classification de tous les groupes finis qui est un des chefs-d’œuvre de la mathématique du XXe siècle, avec son point culminant, le groupe « monstre », qui possède près de 1054 éléments ; c’est un objet colossal, dont l’intérêt physique est nul et le restera très vraisemblablement.

88F. BALIBAR : On ne sait jamais…

89J.-M. LÉVY-LEBLOND : Je crois qu’on sait quand même au moins qu’il y a beaucoup plus de structures de groupes que la physique n’en aura jamais besoin. Ce n’est pas nouveau : en physique, on utilise des fonctions plus ou moins régulières ; mais la classe spécifique des fonctions qui sont, par exemple, treize fois dérivables, les physiciens n’en ont strictement rien à faire. Ou bien on se contente de fonctions continues et une ou deux fois dérivables parce qu’en général ça suffit ; ou bien on a besoin d’un modèle extrêmement lisse, alors on va chercher du côté des fonctions indéfiniment dérivables ; mais je ne vois pas qui en physique pourrait s’intéresser aux fonctions treize fois dérivables et pas plus.

90F. BALIBAR : Mais les mathématiciens non plus ne s’intéressent pas spécialement à ces fonctions ! Ils considèrent en fait les fonctions n fois dérivables, où n est quelconque.

91J.-M. LÉVY-LEBLOND : Dont acte. Un meilleur exemple alors serait celui de structures mathématiques beaucoup moins anecdotiques et plus profondes, comme les nombre p-adiques. Ce qui est intéressant, c’est que beaucoup de physiciens, émerveillés à juste titre par les propriétés originales de ces nombres, ont voulu leur trouver une utilisation, mais sans succès.

92F. BALIBAR : Dans un ordre d’idées voisin, je voudrais qu’on parle du pouvoir explicatif qu’ont, en physique, les mathématiques. Je pense évidemment à la fameuse phrase de René Thom : « Prédire n’est pas expliquer. » En somme le rôle des mathématiques, en physique n’est pas seulement de produire un résultat final ; elles font également comprendre ce qui se passe – je serais tentée de dire « physiquement ».

93J.-M. LÉVY-LEBLOND : Je pense que Thom a raison. Je connais une anecdote qui va dans le même sens, et qui met en scène Wigner, encore une fois. Cela se passe aux tout débuts des calculs de physique effectués par ordinateur, à la fin des années cinquante, disons. Un jour, un de ses collègues, vient trouver Wigner, tout fier des résultats qu’il a obtenus par simulation numérique ; je ne me souviens plus des détails, disons qu’il s’agissait du calcul des propriétés d’une molécule compliquée. « Tu vois, dit-il, grâce à ce programme informatique, on comprend maintenant pourquoi cette molécule a ces propriétés – Peut-être que l’ordinateur a compris, lui, répond Wigner ; mais nous ? ».

94Cela me ramène à la métaphore du transport que je file depuis tout à l’heure. Je crois que prédire n’est pas plus expliquer que – comment dire ? – arriver à bon port n’est voyager. D’une certaine façon, en avion, tu ne voyages pas. D’abord parce que tu es immobile ; et ensuite, tu ne vois pas défiler le paysage, tu ne vois pas l’espace se modifier. Pour revenir à « prédire n’est pas expliquer », je dirais que, certes la force des mathématiques est leur capacité de transport, mais que c’est aussi là qu’elles trouvent leurs limites. C’est en cela que la physique ne se réduit pas aux mathématiques. En somme, il n’y a pas de physique sans mathématiques, la physique se produit, se transporte, par la mathématique ; mais elle ne s’y réduit pas. On peut très bien faire un calcul, arriver aux bons résultats et n’avoir strictement rien compris – c’est même ce qui se passe dans la majorité des cas. Regarde les étudiants auxquels on apprend à calculer une dérivée ; quand on leur demande de calculer la vitesse d’un mobile à partir de la donnée de son mouvement, ils arrivent en général au bon résultat. Mais cela ne veut nullement dire qu’ils ont compris tout ce qu’il y a derrière la notion de dérivée. Pour comprendre ou expliquer en physique, on ne peut pas se limiter aux mathématiques. Pourquoi ? Parce que, pour revenir à l’exemple de la vitesse, comprendre la notion de vitesse, c’est comprendre les limites de cette notion ; tant que tu n’as pas compris dans quels cas tu n’as pas le droit de calculer des dérivées, dans quels cas la procédure usuelle ne marche pas, tu n’as pas compris la notion de vitesse. Comprendre une notion, cela ne se produit que lorsqu’on commence à en voir les limites.

95On a affaire à une forme de compréhension spécifique qui est d’ailleurs très difficile à définir. Il en va certainement de même pour chaque discipline.

96F. BALIBAR : Tu vois des exemples, autres que celui de la vitesse, où la compréhension physique est comme une sorte de bonus (je ne suis pas sûre de ma comparaison) qui vient en plus, où la physique reprend ses droits d’une certaine façon ?

97J.-M. LÉVY-LEBLOND : Ou plutôt : fait valoir ses droits. Oui, je vois un exemple qui nous est cher, c’est la notion de champ. On ne peut pas faire une théorie des champs digne de ce nom sans se placer dans le cadre mathématique des fonctions de variables réelles, définies sur un espace-temps, et à valeurs vectorielles ou tensorielles, pour lesquelles on exige quelques conditions de régularité. Mais tout cela ne suffit nullement à caractériser la notion de champ. Le physicien, me semble-t-il, se situe dans cette interface très étrange entre, d’une part, la formalisation mathématique abstraite que je viens d’évoquer, et, d’autre part, l’intuition vernaculaire, l’intuition initiale de Faraday par exemple, appelant « champ » l’objet théorique qu’il est en train d’inventer – parce qu’il le matérialise grâce à de petits brins de limaille qui s’orientent collectivement, tels des épis dans un vrai champ de blé…

98Il me semble que la pensée du physicien, en tant que telle, réside dans cet entre-deux entre la représentation imagée banale et la description conceptuelle abstraite. Un espace mental qui est borné d’un côté par des représentations figuratives, triviales et inadéquates, et de l’autre, par les concepts purement mathématiques, abstraits et désincarnés. Et le physicien se meut entre ces deux pôles, qu’il relie par des allers-retours incessants.